Unitati di misura di Planck

'N fisica, li unitati di misura di Planck sunnu unitati di misura fisiche prupusti dû premiu Nobel tidiscu Max Planck. Formanu nu sistema di unitati naturali (e sunnu spìssu accussì identificati) vistu ca iddi sunnu dìfiniti esclusivamenti 'n termini di custanti fisiche univìrsali e diminsionali quali chiddi ca seguonu; li unitati sunnu naturali picchì u valuri nùmericu di chisti cinqu custanti addìventa 1 qualora espressu 'n uniati di chistu sistema.

Custanti	Simmùlu	Valuri	Dimìnsioni fisiche
Velocitati dâ luci ntô vacanti	${c}\$	$299\,792\,458\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-1}$	L T⁻¹
Custanti gravitazziunali	${G}\$	$6{,}673\,84\times 10^{-11}\,{\text{m}}^{3}\cdot {\text{kg}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-2}$	M⁻¹L³T⁻²
"Custanti di Planck ridutta" o custanti di Dirac	$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ dove ${h}\$ eni a custanti di Planck	$1{,}054\,571\,726\times 10^{-34}\,{\text{J}}\cdot {\text{s}}$	ML²T⁻¹
Custanti di la forza di Coulomb	${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$ dove ${\varepsilon _{0}}\$ eni a custanti dielettrica ntô vacanti	$8{,}987\,551\,787\,368\,1764\times 10^{9}\,{\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{3}\cdot {\text{s}}^{-2}\cdot {\text{C}}^{-2}$	M L³ T^-2Q⁻²
Custanti di Boltzmann	${k_{B}}\$	$1{,}380\,6488\times 10^{-23}\,{\text{J}}\cdot {\text{K}}^{-1}$	ML²T⁻²Θ⁻¹

Li unitati di Planck sunnu spìssu dìscritti ironicamenti da li fisici quali li "unitati di Diu", 'n quantu eliminanu l'antropocentricu arbitriu di li unitati fisiche datu da lu S.I., u Sistema 'ntirnazziunali di unitati di misura.

L'intensitati di la gravitati eni semplicementi chidda ca eni accussì comu l'intensitati di la forza elettrumagnetica eni semplicementi chidda ca eni. A forza elettrumagnetica opìra 'n basi a na quantitati fisica, a carica elettrica, diversa da la gravitati, a massa, accussì ca nun sia pussibbili na diretta cumparazioni cu la stìssa. Si taliassi ca la gravitati eni na forza estremamenti debbuli ed eni, da lu puntu di vista di li unitati naturali, comu paragunari pumi ad aranci. Veru eni ca la forza elettrustatica repulsiva tra dui prutuni (suli nnò spazziu) bissa a forza gravitazzionali tra li stissi, ma ciò eni duvutu a lu fattu ca la carica dì prutuni eni circa l'unitati naturali di la carica, ma la massa dû prutuni eni ben distanti da l'unitati naturali di la massa.

Li unitati di Planck hannu u vantaggiu di semplificari assai equazzioni fisiche, tugghìennu i fatturi di cancìamentu. Pì chistu mutivu, sunnu assai usati nnà ricerca dâ tiuria dî quanti.

I principali equazzioni fisiche usannu li unitati naturali

Nomu	Equazzioni	'N unitati di Planck
Liggi di gravitazzioni univirsali di Newton	$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$	$F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$
Equazzioni di Schrödinger	$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$	$-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$
Enirgia di nu futuni o di na particedda d'impulsu ${\omega }\$	${E=\hbar \omega }\$	${E=\omega }\$
A famusa formula E=mc² di Einstein	${E=mc^{2}}\$	${E=m}\$
Equazzioni dû campa gravitazzionali di Einstein (Rilativitati gìnirali)	${G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\$	${G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\$
Dìfinizioni di la tìmpiratura pì l'enirgia di na particedda pì gradu di libertati	${E={\frac {1}{2}}k_{B}T}\$	${E={\frac {1}{2}}T}\$
Liggi di Coulomb	$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$	$F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$
Formula di l'intrupìa di Boltzmann	${S=k_{B}\ln \Omega }\$	${S=\ln \Omega }\$
Liggi di Planck (intensitati di superfici pì unitati d'angulu solidu pì unitati di friquenza angulari) pì nu corpu nivuru a timpiratura T.	$I(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}~{\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}-1}}$	$I(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}}{4\pi ^{3}}}~{\frac {1}{e^{\omega /T}-1}}$
Custanti di Stefan-Boltzmann	$\sigma ={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}$	$\ \sigma =\pi ^{2}/60$
Forma di Hamilton di l'Equazzzioni di Schrödinger	$H\left\|\psi _{t}\right\rangle =i\hbar \partial \left\|\psi _{t}\right\rangle /\partial t$	$H\left\|\psi _{t}\right\rangle =i\partial \left\|\psi _{t}\right\rangle /\partial t$
Forma covarianti di l'Equazzioni di Dirac	$\ (\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+imc)\psi =0$	$\ (\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+im)\psi =0$
Intrupìa dî buchi nivuri di Bekenstein-Hawking	$S_{BH}={\frac {A_{BH}k_{B}c^{3}}{4G\hbar }}={\frac {2\pi m_{BH}^{2}k_{B}G}{\hbar c}}$	$S_{BH}=A_{BH}/4=4\pi m_{BH}^{2}$
Equazzioni di Maxwell	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi {\rho }$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$

Unitati di Planck: unitati funnamintali

Diminsioni	Formula		Valuri ntô Sistema 'ntirnazziunali
Lunchizza di Planck	Lunchizza (L)	$l_{p}={\sqrt {\frac {G\hbar }{c^{3}}}}\;$	1,616 252(81) × 10^-35 m
Massa di Planck	Massa (M)	$m_{p}={\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}\;$	2,176 44(11) × 10^-8 k g
Tempu di Planck	Tempu (T)	$t_{p}={\frac {l_{p}}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}\;$	5,391 24(27) × 10^-44 s
Timpiratura di Planck	timpiratura (Θ)	$T_{p}={\frac {m_{p}c^{2}}{k}}={\frac {\sqrt {c^{5}{\frac {\hbar }{G}}}}{k}}$	1,416 785(71) × 10³² K
Carica di Planck	Carica elettrica (Q)	$q_{p}={\sqrt {c\hbar 4\pi \varepsilon _{0}}}\;$	1,875 545 870 × 10^-18 C

I tri custanti di la fisica sunnu espressi 'n chistu modu semplicementi, tramiti l'usu di li unitati funnamintali di Planck:

$c={\frac {l_{P}}{t_{P}}}$

$\hbar \ ={\frac {m_{P}l_{P}^{2}}{t_{P}}}$

$G={\frac {l_{P}^{3}}{m_{P}t_{P}^{2}}}$

Ntô 1899 lu fisicu tidiscu Max Planck prupusi di partìri da li custanti funnamintali (pì esempiu nnà tiuria di la gravitazziuni c'enni a custanti di Newton ${G}\$ , nnà l'ettrustatica a custanti di Coulomb ${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$ , nnà l'elettrumagnetismu e nnà relativitati dâ velocitati dâ luci ${c}\$ , nnà termudinamica a custanti di Boltzmann ${k}\$ e nnà mìccanica quantistica a custanti di Planck arrìdutta $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ ) pì dìfiniri li unitati di misura di lunchizza, tempu, massa, carica e timpiratura, nveci di fari u cuntrariu. E uttenni nu sistema di misura alternativu basatu su «unitati di Planck» 'n cui a custanti di Newton eni l'attrazioni gravitazzionali esercitata da dui massi di Planck pusti a la distanza di Planck, a custanti di Coulomb eni l'attrazzioni elettrica esercitata da dui cariche di Planck pusti a la distanza di Planck, a velocitati dâ luci eni a velocitati di percurrenza di la lunchizza di Planck ntô tempu di Planck, a custanti di Boltzmann eni l'enirgia termica di la timpiratura di Planck e la custanti di Planck eni l'enirgia di la frìquenza uguali ô tempu di Planck. Planck fu assai suddìsfattu di la scuperta di li sò unitati di misura picchì «mantennu u loru significatu 'n tutti i tempi e luoghi, e risultanu sempri uguali puru si misurati da li intelligenzi cchìu disparati», mentri i custanti univìrsali assumunu valuri divìersi se si usa comu sistema di misura, pì esempiu, u Sistema 'ntirnazziunali di unitati di misura, accurzatu 'n SI, oppuru u Sistema cgs. Li unitati di Planck costituiscunu però i limiti di li tìurii attuali, ntô sensu ca sutta i lunchizzi, dì tempi e di li carichi di Planck, o supra di li massi e di li timpiraturi di Planck, a fisica comu a canuscemu perdi di sensu. Quantu a li loru valuri, u tempu di Planck eni circa ${\text{10}}^{-43}$ secunni, a lunchizza di Planck, eni ${\text{10}}^{20}$ voti cchìu nica di nu prutuni, a massa di Planck eni uguali a ${\text{10}}^{19}$ prutuni, e facissi collassari nu quantu 'n nu bucu nivuru, a carica di Planck eni ${\text{12}}$ voti maggìuri di chidda di nu elettruni o nu prutuni, a timpiratura di Planck, nfini, eni di circa ${\text{10}}^{30}$ gradi, e nu corpu ca arrìniscissi a raggiungiri tali timpiratura, lassassi radiazziuni di la lunchizzza di Planck.

Unitati di Planck: unitati dìrivati

Diminsioni	Formula	Valuri, ntô Sistema 'ntirnazziunali
Forza di Planck	Forza (MLT⁻²)	$F_{p}={\frac {m_{p}l_{p}}{t_{p}^{2}}}={\frac {c^{4}}{G}}\;$	1,21027 × 10⁴⁴ N
Enirgia di Planck	Enirgia (ML²T⁻²)	$E_{p}=F_{p}l_{p}=c^{2}{\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}$	10¹⁹ G eV = 1,9561 × 10⁹ J
Putenza di Planck	Putenza (ML²T⁻³)	$P_{p}={\frac {E_{p}}{t_{p}}}={\frac {c^{5}}{G}}\;$	3,62831 × 10⁵² W
Disintati di Planck	Dinsitati (ML⁻³)	$\rho _{p}={\frac {m_{p}}{l_{p}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}\;$	5,15500 × 10⁹⁶ k g/m³
Friquenza angulari di Planck	Friquenza (T⁻¹)	$\omega _{p}={\frac {1}{t_{p}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}\;$	1,85487 × 10⁴³ Hz
Prissioni di Planck	prissioni (ML⁻¹T⁻²)	$p_{p}={\frac {F_{p}}{l_{p}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}\;$	4,63309 × 10¹¹³ Pa
Currenti di Planck	Currenti elettrica (QT⁻¹)	$I_{p}={\frac {q_{p}}{t_{p}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}\;$	3,4789 × 10²⁵ A
Tinsioni di Planck	Tinsioni (ML²T⁻²Q⁻¹)	$V_{p}={\frac {E_{p}}{q_{p}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \varepsilon _{0}}}}\;$	1,04295 × 10²⁷ V
Risistenza di Planck	Risistenza elettrica (ML²T⁻¹Q⁻²)	$Z_{p}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}\;$	29,9792458 Ω
Area di Planck	Area (L²)	$l_{P}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}$	2,61223 × 10⁻⁷⁰ m²
Vulumi di Planck	Vulumi (L³)	$l_{P}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {(\hbar G)^{3}}{c^{9}}}}$	4,22419 × 10⁻¹⁰⁵ m³
Quantitati di motu di Planck	Quantitati di motu (LMT⁻¹)	$m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	6,52485 k g·m/s

Discussioni

A li "scali di Planck" di lunchizza, tempu, dinsitati o timpiratura, si hannu a cunsìdirari sia li effetti di la miccanica quantistica ca di la rilativitati ginirali, ma ciò voli na tiuria di la gravitati quantistica di cui ancùora nun canuscemu a forma.

A maggior parti di li unitati sunnu o troppu nichi o troppu granni pì l'utilizzu praticu. Inoltre soffrìnu di ncìrtizzi nnà misura di alcuni di lì custanti su cui sunnu basati, 'n particulari a custanti gravitazzionali ${G}\$ (ca avi na ncìrtizza di 1 su 7000 parti).

A carica di Planck nun fu originariamenti dìfinita da Planck. Eni na dìfinizzioni di unitati di carica ca eni n'agghiunta naturali a li avutri unitati di Planck, ed eni usatu 'n alcuni pubblicazioni. Eni ntìrissanti nutari ca la carica elementari, misurata 'n termini di la carica di Planck, arrìsulta essìri:

e={\sqrt {\alpha }}\ q_{P}=0,085424543\ q_{P}\,

Dunni ${\alpha }\$ eni a custanti di struttura fini

\alpha =\left({\frac {e}{q_{P}}}\right)^{2}={\frac {e^{2}}{\hbar c4\pi \varepsilon _{0}}}={\frac {1}{137,03599911}}

Si pò pinsari ca la custanti di struttura fini, adimensiunali, pussèdi u propriu valuri pì via di li quantitati di carica, misurata 'n unitati naturali (carica di Planck), ca li elettruni, i prutuni e avutre particeddi cariche hannu 'n natura. Vistu ca la forza elettrumagnetica tra dui particeddu eni proporzionali a lì carichi di ciascuna particedda (ca eni pruporzionali a ${\sqrt {\alpha }}$ ), a forza elettrumagnetica rìlativamenti a li avutri forzi eni pruporzionali a ${\alpha }$ .

L'impedenza di Planck arrìsulta essìri l'impedenza caratteristica dû vacanti, $Z_{0}\$ , spartuta pì 4π. Ciò succeri 'n quantu a custanti di la forza di Coulomb, $1/(4\pi \varepsilon _{0})$ , eni nurmalizzata a 1 nnà liggi di Coulomb, accussì comu veni fattu nnè l'unitati cgs, nveci ca mettìri a 1 a permittivitati dû vacanti $\varepsilon _{0}\$ . Tali cunsìdiraziuni, nsemi a lu fattu ca la custanti gravitazzionali $G\$ eni nurmalizzata a 1 (nveci ca 4πG o 8πG o 16πG), fannu pinsari a na dìfinizioni arbitraria e forsi nun ottimali nnà pruspìttiva di dìfiniri li unitati cchìu naturali di la fisica comu unitati di Planck.

Talìa puru