Timpiratura di Planck

A timpiratura di Planck eni na unitati di misura di Planck ca rapprìsenta l'unitati di misura naturali dâ timpiratura, sulitamente innìcata cu T_P.

Comu assai avutri unitati di misura di Planck, chista costituisci nu limiti nsupìrabbili: a timpiratura cchìu avuta accìttata da la miccànica quantistica. Si pensa ca sia a timpiratura a cui evapura nu purtùsu nìuru e chidda iniziali dû Big Bang, secunnu u mudellu standard dâ Cosmoluggìa.

Dìfinizioni

Si dìfinisci timpiratura di Planck chidda currìspunnenti a la massa di Planck (a menu di custanti):

T_{P}={\frac {m_{P}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}

= 1,41679 × 10³² K

Dunni:

m_P eni la massa di Planck
c eni a velocitati dâ luci ntô vacanti
$\hbar$ eni a custanti di Planck arrìdutta (o custanti di Dirac)
k eni a custanti di Boltzmann
G eni a custanti gravitazzionali.

Idda pò essìri dìdutta da li liggi di la miccànica classica partennu da lu fattu ca nu oscillaturi armonicu ideali (privu di dissipazioni) 'n equilibriu termicu cu nu gas ideali a na timpiratura $T$ racchiusu 'n na scatula cu parìti perfettamenti riflìttenti e privi di attritu avi na enirgia di motu tutali (enirgia cinetica + enirgia putinziali) uguali a $kT$ :

<E>=kT

Chista affermazioni eni vera e pò essìri dimustrata da li liggi di la miccanica classica (fu pruvata a prima vota da Ludwig Boltzmann) e, successivamenti, eni stata cunfìrmata da la miccanica quantistica.

Punennu tali enirgia uguali a la massa di Planck pì $c^{2}$ si ottiene pì $T$ la tempiratura cìrcata:

m_{P}c^{2}=kT_{P}=\hbar \nu _{P}

Pì nu oscillaturi armonicu 'n equilibriu termicu ca scancìa futuni di frequenza $\nu _{P}$ esisti a probabilitati ca si genìri nu purtùsu nìuru tutti li voti ca avveni u scancìu di nu quantu d'enirgia $h\nu _{P}$ e na friquenza cchìu avuta violerebbe a relativitati ginirali di Albert Einstein (viri lunchizza di Planck). Ecco picchì a timpiratura di Planck eni nu limiti supìriuri.

'N teoria fussi pussibili aggucciari nu corpu a la timpiratura di Planck e iddu emetterebbe, di cunsìcuenza, a sò radiaziuni di corpu nivuru, ma 'n chistu casu i risultati previsti da la distribuzioni spittrali di corpu nivuru (specialmenti da corollari quali a Liggi di Wien) fannu pinsari ca a la timpiratura di Planck servi fari ricorsu a na analisi cchìu scrupulusa e a qualcosa di cchìu prufunnu.

Pì aviri cunuscenza di ciò, si cunsìdiri, 'n prima battuta, na scatula perfettamente chiusa, cu pareti perfettamenti riflìttenti 'n cui si trovanu nu mucchiu di oscillaturi 'n equilibriu termicu a la timpiratura calculata cu la pricirenti formula e si calculi l'enirgia media pì la friquenza angulari di Planck $\nu _{P}$ . Comu eni notu, a formula pì l'enirgia media pì la friquenza $\nu _{P}$ eni data da:

<E_{\nu _{P}}>={\frac {\hbar \nu _{P}}{e^{\frac {\hbar \nu _{P}}{kT_{P}}}-1}}

Si taliassì ca la timpiratura di Planck ottìnuta prima eni strittamenti lijata a $\nu _{P}$ da la rilazioni:

T_{P}={\frac {\hbar \nu _{P}}{k}}

Fatti i giusti cancìamenti, si avi:

<E_{\nu _{P}}>=<E>{\frac {1}{2\pi (e-1)}}\thickapprox 9,2624\times 10^{-2}\cdot <E>

U nummaru mediu di futuni pì lu modu $\nu _{P}$ eni datu da:

<N_{\nu _{P}}>\thickapprox 9,2624\times 10^{-2}

Ca sunnu relativamenti picca. Si putissi logicamenti pìnsari ca essennu estremamenti enìrgetici, ni putissìru bastari picca a cunsirvari l'equilibriu termicu, ma si tinìssi puru cuntu ca a simili liveddi d'enirgia li oscillaturi armonici nun sunnu certu singuli atumi: a materia avissi a essìri strappatu nnè le unitati funnamìntali esistenti a la scala di Planck, pì li quali nun ci sunnu ancùora mudelli adeguati.

'N secunna battuta, si talìassi ca nu corpu nivuru 'n equilibriu termicu a la timpiratura di Planck avissi a irradiari a sò enirgia 'n massima parti a la lunchizza d'unda seguenti (a moda di la distribuzioni ottìnuta applicannu a Liggi di Wien):

\lambda _{max}=b{\frac {1}{T_{P}}}=b{\frac {kc}{c\hbar \nu _{P}}}\thickapprox 1,2655\cdot l_{P}

E a la friquenza:

\nu _{max}={\frac {c}{\lambda _{max}}}={\frac {c\hbar \nu _{P}}{bk}}\thickapprox 7.9019\times 10^{-1}\cdot \nu _{P}

Chisti valuri sunnu prossimi a li unitati di Planck, ma distanti. Pari stranu ca u massimu d'emissioni nun veni da la friquenza angulari di Planck (o a la lunchizza di Planck). Si tinissi cuntu, nfatti, ca a na determinata timpiratura di equilibriu currìspunni na sola friquenza specifica e se a timpiratura di Planck, a lunchizza di Planck e la friquenza angulari di Planck sunnu limiti invalicabbili, a Liggi di Wien ca eni a dìrivata da la distribuzioni spìttrali di corpu nivuru duvissi juncirli.

A funzioni di distribuzzioni spìttrali, inoltre, eni pusitiva e continua puru pì friquenzi maggiuri di chidda di Planck. Chista ultima pussibilitati eni vietata da la relativitati ginirali di Einstein. Simili futuni nun ponnu fisicamenti manifestarisi, ma la distribuzzioni assegna a iddi na probabilitati dì esìstiri.

Poicheni a relativitati gìnirali vieta l'esistenza di futuni cu friquenza supìriuri a $\nu _{P}$ , si pinsassi ca iddi nun esìstinu, pìrtantu eni lecitu pinsari ca ogni friquenza fisicamenti pussibili eni nu suttamultiplu rìali di la friquenza di Planck. 'N sintesi, si supponi ca ogni friquenza $\nu$ sia uguali a $\alpha \nu _{P}$ cu:

\alpha ={\frac {\nu }{\nu _{P}}}

Ovviamenti:

0<\alpha <1

A distribuzioni spìttrali di corpu nivuru a la timpiratura di Planck eni data da la formula:

I(\nu )d\nu ={\frac {\hbar \nu ^{3}d\nu }{\pi ^{2}c^{2}(e^{\frac {\hbar \nu }{kT_{P}}}-1)}}

Idda rapprìsenta l'intensitati di la radiaziuni emessa ntô l'intervaddu di friquenzi $[\nu ,\nu +d\nu ]$ .

Cunsìdiratu $<E>=h\nu _{P}$ , u fattu ca $\nu =\alpha \nu _{P}$ e lu fattu ca:

T_{P}={\frac {\hbar \nu _{P}}{k}}

Cunsentìnu di riscriviri a formula ntô seguenti modu:

I(\alpha )d\alpha =<E>\cdot {\frac {\nu _{P}}{2\pi ^{3}c^{2}}}\cdot {\frac {\alpha ^{3}d\alpha }{e^{\alpha }-1}}

Dopu avìri postu:

d\alpha ={\frac {1}{\nu _{p}}}d\nu

I primi dui termìni sunnu custanti, pìrtantu, ci si pò cuncintrari ncapu a funzioni 'n $\alpha$ ca eni ô terzu termìni, trascurannu $d\alpha$ . Se nnè calculi a dìrivata prima e se ne studi u sìgnu pì $0<\alpha <1$ :

{\frac {d}{d\alpha }}{\frac {\alpha ^{3}}{e^{\alpha }-1}}={\frac {3\alpha ^{2}e^{\alpha }-3\alpha ^{2}-\alpha ^{3}e^{\alpha }}{(e^{\alpha }-1)^{2}}}>0

'N $\alpha =0$ u denumìnaturi si annulla, ma 'n nu ntornu destru di lu zeru resta comunque pusitivu. A singolaritati di la dìrivata prima, inoltre, eni eliminabbili, nfatti, sceltu nu $\alpha$ nun nullu 'n nu ntornu destru di lo zeru si avi:

{\frac {3\alpha ^{2}e^{\alpha }-3\alpha ^{2}-\alpha ^{3}e^{\alpha }}{(e^{\alpha }-1)^{2}}}={\frac {3\alpha ^{2}(e^{\alpha }-1)}{(e^{\alpha }-1)^{2}}}-{\frac {\alpha ^{3}e^{\alpha }}{(e^{\alpha }-1)^{2}}}={\frac {3\alpha ^{2}}{e^{\alpha }-1}}-{\frac {\alpha ^{3}e^{\alpha }}{(e^{\alpha }-1)^{2}}}

Applicannu a regula di de l'Hôpital a la prima frazzioni, idda cunvergi a zeru e simili sorti subisci a secunna. Applicannu a idda a stissa regula, nfatti, si avi:

{\frac {3\alpha ^{2}e^{\alpha }+\alpha ^{3}e^{\alpha }}{2(e^{\alpha }-1)e^{\alpha }}}={\frac {3\alpha ^{2}+\alpha ^{3}}{2(e^{\alpha }-1)}}

Riapplicannùka si arriva a:

{\frac {6\alpha +3\alpha ^{2}}{2e^{\alpha }}}

Ca cunvergi puru a zeru.

Prulungannu pì cuntinuitati 'n $\alpha =0$ e cunsìdiratu u signu dì fatturi 'n jocu, pì truvari a soluzioni di la disequazzioni basta studiari u signu dû nummaruturi ca, divisu pì $\alpha ^{2}$ e pì 3, sempri pusitivi, si arrìduci a studiari a disequazzioni:

1-{\frac {1}{3}}\alpha >e^{-\alpha }

Da semplici osservazioni geometriche eni pussibili taliari ca la retta:

y=1-{\frac {1}{3}}\alpha

Eni secante a curva $y=e^{-\alpha }$ , picchì u sò coefficienti angulari (-1/3) eni diversu da chiddu di la tangenti a $y=e^{-\alpha }$ ntô puntu $\alpha =0$ (-1). Idda interseca l'assi di li ascisse pì $\alpha =3$ , dunni $e^{-\alpha }$ vale $e^{-3}>0$ . 'N chistu puntu, quinni, $y=e^{-\alpha }$ s'attrova supra a retta. Ma pì $\alpha =1$ a retta vali 2/3 e $y=e^{-\alpha }$ vali 1/e. Picchì:

{\frac {2}{3}}>{\frac {1}{e}}

A retta eni supra $y=e^{-\alpha }$ e accussì resta finu ad $\alpha =0$

'N cunclusioni: a distribuzioni spìttrali di corpu nivuru eni sempri crìscenti pì $0<\alpha <1$ (cunnìzioni nìcissaria pì l'esistenza fisica di futuni 'n jocu), quinni, a Liggi di Wien nun eni valida e lu massimu di emissioni eni raggiuntu pì $\alpha =1$ , cioè a la friquenza angulari di Planck (e quinni a la lunchizza di Planck). A cunnizioni ca junci a distribuzioni spìttrale di corpu nivuru cu la friquenza e a lunchizza di Planck eni pìrtantu ripristinata: nu ipoteticu corpu nivuru a la timpiratura di Planck raggiungi u massimu di emissioni a la friquenza di Planck.

A chistu puntu addìventa logicu addùmannarisi a quali timpiraturi a Liggi di Wien e l'ammissibilitati di futuni tornanu validi e si partirà osservannu ca la timpiratura di Planck eni nu estremanti a la stissa maniera di la friquenza angulari di Planck e di la lunchizza di Planck. Eni logicu, pìrtantu, pinsari ca ogni timpiratura T sia nu suttamultiplu rìali di la timpiratura di Planck, quinni:

\beta ={\frac {T}{T_{P}}}

Cu $0<\beta <1$

Riscrivennu opportunamenti a distribuzioni spìttrali di corpu nivuru pì tenìri cuntu di la variabilitati di la timpiratura, si utteni ca:

I(\alpha ,\beta )d\alpha =<E>\cdot {\frac {\nu _{P}}{2\pi ^{3}c^{2}}}\cdot {\frac {\alpha ^{3}d\alpha }{e^{\frac {\alpha }{\beta }}-1}}

Dìrivannnu pì $\alpha$ puru 'n chistu casu e studiannu u segnu si arriva a la seguenti disequazzioni:

1-{\frac {1}{3\beta }}\alpha >e^{-{\frac {\alpha }{\beta }}}

Pì la quali valìnu cunsìdirazioni analoghe a chiddi fatti prima, ma l'intercetta di l'assi di li ascisse ùora avveni pì $\alpha =3\beta$ e chistu puntu tenni a 1 quannu $\beta$ tenni a 1/3 da destra.

Si taliassi ca pì li cunnìzioni pricirentìmenti posti, nu futuni pì essìri "ammissibili", e quinni nun viulari a relativitati ginirali,avi a rispìttari a cunnìzzioni: $1-\alpha >0$ , con $\alpha >0$ e la cunnìzzoni:

\beta ={\frac {1}{3}}

Eni propriu chidda ca, 'n nu certu sensu, vieta l'esistenza di futuni "inammissibili" e fa ristari valida a Liggi di Wien (ammìttennu ca $0<\alpha <1$ ), fermu rìstannu ca la distribuzzioni spìttrali assegna ancùora, a simili futuni, a pussibilitati d'esistere. Quali cunclusioni si ponnu trarri quannu $\beta$ supìra u valuri supracitatu? U puntu di intersìzioni tènni ad avvicinarisi a 3 da sinistra e cumparirannu futuni "inammissibili" (pì li quali $1-\alpha <0$ ). A liggi di Wien, a nu certu puntu, accumincerani a esprìmiri u sò massimu prima pì $\alpha =1$ , poi si sposterà nta riggiuni di inammissibilitati dì futuni ( $\alpha >1$ ). Ntantu veni raggiunta a timpiratura di Planck, ma lu massimo di emissioni osservabili 'n tuttu chistu prucessu di aumentu di la timpiratura resterà sempri attìstatu a la friquenza di Planck, comu si l'enirgia ulteriormente nsìrita vinissi "risucchiata" (si taliassi ca u massimu di emissioni, dìrivatu da la Liggi di Wien, veni raggiuntu nnà riggiuni di "inammissibilitati", dunni $1<\alpha <3$ ). Chistu prucessu succeri 'n cunnìzziuni 'n cui a relativitati ginirali eni 'n cuntrastu cu la meccanica quantistica, a menu ca nun intervenga na qualchi meccanismu di la natura ca impedisca a nu futuni di cumpurtarisi 'n maniera accussì assurda o ca li dui tiurii 'n esami sianu sulu approssimazioni di nu qualcosa di cchìu prufunnu (cosa cchìu probabbili).

Ciò fa pizari a nu fattu ca, 'n linea di principiu, putissi supìrari u problema: l'ulteriori enirgia nsìrita agghiunci puru ulteriori massa 'n nu spaziu, pì ipotesi, cunfinatu (u corpu nivuru riscaldatu) e chista si cancìa 'n na scuma ribullenti di "mini buchi nivuri" dunni sulu a gravitati quantistica pò dari di li rispusti. Forsi, fìnomeni comu chiddi supra dìscritti succèrinu nnè nuclei 'n cullassu gravitazziunali di stiddi ca si trasformanu in buchi nivuri.

Eni giustu, però, suttalineari ca quantu dittu supra rapprìsenta sulu nu "spinciri ô limiti" na formula pì evidenziari "quali cosi nun funzionanu" e circari di cogghìri a simenza di na tiuria cchìu prufunna. Comu si pò evinciri, alcuni cosi ca "nun funzionanu" ci sunnu, d'altronde, si eni suppostu nnè calculi ca lu spaziu continui a essìri nu "continuum immutabbili", 'n veritati, l'agghiunciri enirgia influisci ncapu ô campu gravitazzionali e, quinni puru ncapu ô spaziu e chistu eni unu dì principali punti di disaccordu tra miccanica quantistica e relativitati.

Va puru nutatu ca la formula di la timpiratura di Planck eni simili (a menu di nu fatturi $8\pi$ ) a chidda di la radiaziuni di Hawking pruvìnenti da nu purtùsu nìuru di Schwarzschild cu massa uguali a la massa di Planck (ca sarà dìfinitu "purtùsu nìuru di Planck"). Ciò rafforzerebbe l'ipotesi ca idda eni a timpiratura dû "lampu finali" di nu purtùsu nìuru subbitu prima di cunsumarisi definitivamenti pì lu prucessu quantistici di evaporazioni e, forsi, a timpiratura iniziali dû Big Bang.

Secunnu Stephen Hawking, inoltri, nu purtùsu nìuru di Planck evaporerebbe 'n nu tempu uguali a:

5120\pi {\sqrt {\frac {G\hbar }{c^{5}}}}=5120\pi t_{P}\thickapprox 8,6714\times 10^{-16}ys

Chistu rafforzerebbe ulteriormenti l'ipotesi di lu "ribulliri" di mini buchi nivuri nnà struttura di lu spaziu a la scala di Planck.

Talìa puru