Dâ Wikipedia, la nciclupidìa lìbbira.
U radianti (gìniralmenti innìcatu rad quannu nìcissariu), eni la unitati di misura di la larchizza di li anguli dû Sistema 'ntirnazziunali di unitati di misura . Tali misura rapprìsenta u rapportu tra la lunchizza di l'arcu di circunfirenza tracciatu da l'angulu e la lunchizza dû raggiu di tali circunfirenza; essennu u rapportu tra dui grannizzi omogenee eni nu nùmmaru puru .
Si pigghìassi na circunfirenza cu centru nto vertici di l'angulu e lu sò arcu ntercìttatu da li dui semirette ca formanu l'angulu. Chiamammu
l
{\displaystyle l}
a lunchizza di tali arcu,
r
{\displaystyle r}
chidda dû raggiu,
c
{\displaystyle c}
chidda di la circunfirenza e
α
{\displaystyle \alpha }
l'ampiezza di l'angulu dìscrittu da l'arcu.
α
r
a
d
=
l
r
{\displaystyle \alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}}}
l
=
r
⋅
α
r
a
d
{\displaystyle l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }}
Da ciò si evìnci ca u radianti eni nu nummaru puru, ossia eni adimensionali , datu ca esprimi u rapportu tra dui lunchizzi.
Infatti: [rad] = [m] / [m] = [1] .
Dìfinemmu comu radianti l'ampiezza di l'angulu ca suttènni nu arcu di circunfirenza ca, rettìficatu, avi lunchizza uguali a lu raggiu di la circunfirenza stissa. 'N paroli poviri nu radianti eni l'angulu ca si avi 'n currìspunnenza di nu arcu di lunchizza pari a lu raggiu di la circunfirenza.
Essennu a lunchizza di la circunfirenza
c
{\displaystyle c}
uguali a
2
π
r
{\displaystyle 2\pi r}
e lu raggiu longu
r
{\displaystyle r}
, l'angulu di nu cerchiu eni uguali a
2
π
{\displaystyle 2\pi }
.
α
=
2
π
r
r
=
2
π
.
{\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .}
Ricurdannu ca la misura di la lunchizza di la circunfirenza eni:
c
=
2
π
r
,
{\displaystyle c=2\pi r,}
Si pò scriviri a seguenti prupurzioni:
α
(
∘
)
l
=
360
∘
2
π
r
,
{\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},}
α
{\displaystyle \alpha }
arrìsulta funzioni di
l
{\displaystyle l}
:
α
(
∘
)
=
f
(
l
)
,
{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),}
Ossia:
α
(
∘
)
(
l
)
=
360
∘
⋅
l
2
π
r
,
{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},}
Da cui:
α
(
∘
)
(
l
)
=
l
r
⋅
360
∘
2
π
{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}}
Dunque, punnnu
l
=
r
{\displaystyle l=r}
, da l'equazzioni pricirenti si utteni:
α
(
∘
)
(
l
=
r
)
=
360
∘
2
π
≈
57,295
78
∘
≈
57
∘
17
′
44
,
8
″
=
1
r
a
d
.
{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}}
Formulamu ùora nu angulu giru 'n radianti:
360
∘
=
2
π
2
π
⋅
360
∘
=
2
π
⋅
360
∘
2
π
=
2
π
r
a
d
.
{\displaystyle 360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}}
Cu la seguenti prupurzioni si ottènnu i formuli pì passari da radianti a gradi sessagesimali e viciversa:
α
(
∘
)
α
r
a
d
=
360
∘
2
π
{\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}}
α
(
∘
)
=
360
∘
2
π
⋅
α
r
a
d
{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }}
α
r
a
d
=
2
π
360
∘
⋅
α
(
∘
)
.
{\displaystyle \alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.}
A misura dû radianti cunsenti di aviri formuli trigonumetriche assai cchìu facili di chiddi ca si avissìru aduttannu i gradi sessagesimali o avutri unitati di misura di li anguli.
Sustanzialmenti i vantaggi dû radianti dìrivanu da lu fattu ca cu tali unitati si uttèni a semplici esprìssioni;
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
E da chista si ottènnu assai avutri eleganti identitati dû calculu infinitesimali ca hannu mpurtanti cunsicuenzi pratiche. Tra chisti:
d
d
x
sin
x
=
cos
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
…
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots }
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
…
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots }
.
Se si misurassìru li anguli 'n gradi o 'n avutri unitati di misura, formuli comu i pricirinti avissìru a essìri appìsantiti da custanti di cunvìrsioni e da loru putenzi.
Nu radianti eni uguali a
180
/
π
{\displaystyle 180/\pi }
gradi. Pì cunvirtiri radianti 'n gradi eni quinni sufficenti multiplicari pì
180
/
π
{\displaystyle 180/\pi }
:
α
(
∘
)
=
α
(
r
a
d
)
⋅
180
∘
π
.
{\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=\alpha ^{(\mathrm {rad} )}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}.}
Pì esempiu:
1
rad
=
1
⋅
180
∘
π
≈
57,295
8
∘
{\displaystyle 1{\mbox{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}2958^{\circ }}
2
,
5
rad
=
2
,
5
⋅
180
∘
π
≈
143,239
4
∘
{\displaystyle 2{,}5{\mbox{ rad}}=2{,}5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143{,}2394^{\circ }}
π
3
rad
=
π
3
⋅
180
∘
π
=
60
∘
.
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\mbox{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }.}
Nta stissa maniera, pì cunvirtiri gradi 'n radianti si multiplicanu pì π/180:
α
(
r
a
d
)
=
α
(
∘
)
⋅
π
180
∘
.
{\displaystyle \alpha ^{(\mathrm {rad} )}=\alpha ^{(\circ )}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}.}
Pì esempiu:
1
∘
=
1
⋅
π
180
∘
≈
0,017
5
rad
{\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}0175{\mbox{ rad}}}
23
∘
=
23
⋅
π
180
∘
≈
0,401
4
rad
{\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}4014{\mbox{ rad}}}
gradi
radianti
0
0
15
π /12
30
π /6
45
π /4
60
π /3
90
π /2
120
2/3 π
135
3/4 π
150
5/6 π
gradi
radianti
180
π
210
7/6 π
225
5/4 π
240
4/3 π
270
3/2 π
300
5/3 π
315
7/4 π
330
11/6 π
360
2π
Si avi quinni:
1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secunni
1 gradu = 0,01745 32925 19943 rad;
1 primu = 0,00029 08882 08666 rad
1 secunnu = 0,00000 48481 36811 rad