Radianti

U radianti (gìniralmenti innìcatu rad quannu nìcissariu), eni la unitati di misura di la larchizza di li anguli dû Sistema 'ntirnazziunali di unitati di misura. Tali misura rapprìsenta u rapportu tra la lunchizza di l'arcu di circunfirenza tracciatu da l'angulu e la lunchizza dû raggiu di tali circunfirenza; essennu u rapportu tra dui grannizzi omogenee eni nu nùmmaru puru.

Definizione di radiante

Si pigghìassi na circunfirenza cu centru ntô vertici di l'angulu e lu sò arcu ntercìttatu da li dui semirette ca formanu l'angulu. Chiamammu $l$ a lunchizza di tali arcu, $r$ chidda dû raggiu, $c$ chidda di la circunfirenza e $\alpha$ l'ampiezza di l'angulu dìscrittu da l'arcu.

$\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}}$

$l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }$

Da ciò si evìnci ca u radianti eni nu nummaru puru, ossia eni adimensionali, datu ca esprimi u rapportu tra dui lunchizzi.

Infatti: [rad] = [m] / [m] = [1].

Dìfinemmu comu radianti l'ampiezza di l'angulu ca suttènni nu arcu di circunfirenza ca, rettìficatu, avi lunchizza uguali a lu raggiu di la circunfirenza stissa. 'N paroli poviri nu radianti eni l'angulu ca si avi 'n currìspunnenza di nu arcu di lunchizza pari a lu raggiu di la circunfirenza.

Essennu a lunchizza di la circunfirenza $c$ uguali a $2\pi r$ e lu raggiu longu $r$ , l'angulu di nu cerchiu eni uguali a $2\pi$ .

\alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .

Ricurdannu ca la misura di la lunchizza di la circunfirenza eni:

c=2\pi r,

Si pò scriviri a seguenti prupurzioni:

{\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},

$\alpha$ arrìsulta funzioni di $l$ :

\alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),

Ossia:

\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},

Da cui:

\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}

Dunque, punnnu $l=r$ , da l'equazzioni pricirenti si utteni:

\alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}

Formulamu ùora nu angulu giru 'n radianti:

360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}

Cu la seguenti prupurzioni si ottènnu i formuli pì passari da radianti a gradi sessagesimali e viciversa:

{\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}

\alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }

\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.

Utilitati di la scelta dû radianti

A misura dû radianti cunsenti di aviri formuli trigonumetriche assai cchìu facili di chiddi ca si avissìru aduttannu i gradi sessagesimali o avutri unitati di misura di li anguli.

Sustanzialmenti i vantaggi dû radianti dìrivanu da lu fattu ca cu tali unitati si uttèni a semplici esprìssioni;

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

E da chista si ottènnu assai avutri eleganti identitati dû calculu infinitesimali ca hannu mpurtanti cunsicuenzi pratiche. Tra chisti:

{\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots

.

Se si misurassìru li anguli 'n gradi o 'n avutri unitati di misura, formuli comu i pricirinti avissìru a essìri appìsantiti da custanti di cunvìrsioni e da loru putenzi.