Tiurema di Banach-Steinhaus

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'N matimàtica, lu tiurema di Banach-Steinhaus o principiu di l'uniformi limitatizza è unu di li risurtati funnamintali 'n anàlisi funziunali e, nzemi cu lu tiurema di Hahn-Banach e cu lu tiurema di la funzioni aperta, è cunzidiratu na di li basi di sta branca di l'anàlisi. Nta la sò forma cchiù sìmprici, chistu afferma ca pi na famigghia d'upiratura liniari cuntìnui addifiniti supra nu spazziu di Banach, la limitatizza puntuali è equivalenti a la limitatizza.

Lu tiurema fu pubbricatu pi la prima vota nta lu 1927 di Stefan Banach e Hugo Steinhaus ma fu macari addimustratu nnipinnintimenti di Hans Hahn.

Enunciatu[cancia | cancia la surgenti]

Sianu X nu spazziu di Banach e Y nu spazziu nurmatu. Sia F sia na famigghia d'upiratura liniari cuntìnui di X 'n Y tali ca pi tutti li x 'n X risurti

\sup \left\{\,\|Tx\| : T \in F \,\right\} < \infty, .

Allura

 \sup \left\{\, \|T\| : T \in F \;\right\} < \infty.

Utilizzannu lu tiurema di la catigurìa di Baire, avemu la siquenti dimustrazzioni

Dimustrazzioni[cancia | cancia la surgenti]

Di sècuitu avièmu a dimustrazzioni di lu Tiurema di Banach-Steinhaus:
P'ogni n\in\textbf{N} addifinemu li nzemi

A_n \doteq \left\{x\in X: \|Tx\|\le n \ \forall T\in F\right\}.

P'ipòtisi, p'ogni x\in X asisti nu ìnnici naturali n=n(x) tali ca \|Tx\|\le n\ \forall T\in F e, pirtantu, s'havi X=\cup_{n=1}^\infty A_n. Ussirvamu chi, pi la cuntinuità d'ogni elimentu T di F, tutti li nzemi A_n sunnu chiusi. Nvucannu lu tiurema di la catigurìa di Baire addiducemu c'asisti nu naturali m tali ca \overline{A}_m=A_m havi nternu nun votu, vali a addiri c'asìstinu y\in X e \epsilon>0 tali ca

B(y,\epsilon)\subseteq T^{-1}\left(\left\{z: \|z\|\le m\right\}\right) \ \forall T \in F.

'N àutri paroli s'havi

\|T(x+y)\|\le m \ \forall x: \|x\|< \epsilon, \ \forall T\in F

e quinni

\|Tx\|\le \|T(x+y)\|+\|Ty\|\le m + \|Ty\| \ \forall x: \|x\|<\epsilon, \ \forall T\in F.

Datu x\in X s'havi

\|Tx\|=\left\|T\left(\frac{\|x\|}{\epsilon}\cdot \frac{\epsilon}{\|x\|}\cdot x\right)\right\| =
\frac{\|x\|}{\epsilon}\left\|T\left(\epsilon \cdot \frac{x}{\|x\|}\right)\right\| \le \frac{\|x\|}{\epsilon}\left(m+\|Ty\|\right) \ \forall T\in F.

Di ciò sequi ca

\|T\|\le \frac{1}{\epsilon}\left(m+\|Ty\|\right)\ \forall T\in F.

Cu ciò lu tiurema è pruvatu.

Giniralizzazzioni[cancia | cancia la surgenti]

L'ammienti naturali pi lu tiurema di Banach-Steinhaus è nu spazziu botti unni vali la siquenti virsioni giniralizzata di lu tiurema:

Datu nu spazziu botti X e nu spazziu lucalmenti cunvessu Y, allura quarsiasi famigghia d'upiratura liniari cuntìnui puntuarmenti limitati di X a Y è equicuntìnua (macari unifurmementi equicuntìnua).

Voci currilati[cancia | cancia la surgenti]

Rifirimenti[cancia | cancia la surgenti]